摘要：介绍灰色系统 理论 及其建模原理，利用珊溪水库雨量站40多年的实测降雨量资料建立灰色预测GM（1，1）模型，对干旱灾害进行预测，经残差、关联度检验等 分析 ，模型精度较高，并对实测资料进行检验，效果较理想，为水库发电、供水提供必要的预测信息。

　　关键词：干旱 灰色预测 精度检验

　　引　言

　　灰色系统理论［1］是80年代初由我国著名学者邓聚龙教授提出的。它把一般系统论、信息论、控制论的观点和 方法 延伸到 社会 、 经济 、生态等抽象系统，并结合数学方法， 发展 成为一套解决信息不完备系统即灰色系统的理论和方法。它对未来的 研究 具有重要意义。 应用 该方法对各种 自然 灾害进行预测，是减轻灾害和作出 科学 决策的重要措施之一。本文以珊溪水库雨量站40年的实测年降雨量资料，用灰色系统理论GM（1，1）对未来干旱灾害进行预测。该文中干旱预测严格说是异常值预测，主要是干旱灾害出现时间的预测，即干旱出现的年份。

　　1 珊溪水库雨量的基本情况

　　珊溪水库雨量站于60年代设站，该站多年平均降雨量在1800mm左右，年最大降雨量为1990年2397mm；年最小为1976年的1169.8mm。根据本地区干灾害天气的实际情况及特点，本文以年降水量小于1400mm作为异常值指标进行分析 计算 、预测。

　　2 灰色系统模型的建立及其检验

　　灰色系统（Grey System）即指信息不完全、不充分的系统。灰色系统理论GM（1，1）代表1个变量的一阶微方方程，它既是一种动态的数学模型，又是一种连续的数学函数。其根据联度收敛原理、生成数、灰导数和灰微方程等论据和方法来建模。建模技巧是利用量化方法将杂乱无章的原始数据列，通过累加生成处理，使之变成有 规律 的原始数据列，利用生成后的数据列建模，在预测时再通过还原检验其误差。

　　2.1灰色预测模型建立

　　GM模型即灰色模型，其实质是对原始数据序列作为一次累加生成，使生成序列呈一定规律，并用典型曲线拟合，从而建立其数学模型。对已知原始数据序列X（0）｛｝（i＝1，2，…，n）首先进行一阶累加生成（即1－AG0）得新序数列为X（1）。

　　利用X（1）构成下述白化形式的微方方程：

　　其中a,u是待定系数，利用最小二乘法求解参数α、u；

　　式中

　　所以方程（1）的解为：

　　（其中k=1，2，3…，n）

　　然后将求得的参数回代模型进行精度检验。

　　本文GM（1，1）模型以1400mm的阈值进行建模预测，该系列中异常值在1400mm以下年份有1967、1971、1979、1986和1991年，其相应的X（0）和X（1）见表1

　　表1                        模型预测计算分析表

　　K

　　0

　　1

　　2

　　3

　　4

　　年份

　　1967

　　1971

　　1979

　　1986

　　1991

　　7

　　11

　　19

　　26

　　31

　　7

　　18

　　37

　　63

　　94

　　7

　　20.3

　　38.1

　　62.0

　　94.1

　　相对误差（%）

　　0

　　12.8

　　3

　　-1.60

　　0.11

　　根据表1，可知X01=｛7，11，19，26，31｝，作累加生成AGO时，X（K+1）1=｛7，18，37，63，94｝。因此：

　　因此

　　由此可知：α=-0.294192892；μ=9.357105995；μ/α=-31.80602336，代入（1）得：=38.80602337e0.294192892k-31.80602337  （其中 k=1,2,3…，n）

　　转贴于论文联盟 http://www.lwlm.com2.2 模型检验

　　灰色预测的检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。

　　2.2.1 残差检验

　　残差检验就是 计算 相对误差，对模型的回顾，以残差的大小来判断模型的好坏，残差的计算结果见表2，从表可以看出模型平均相对误差为7.6%，平均精度为92.4%，用于预测原点的精度为96.5%。其精度都较高，残差检验通过，该模型可用于预测。

　　表2                模型残差检验计算表

　　K

　　0

　　1

　　2

　　3

　　4

　　平均值

　　7

　　18

　　37

　　63

　　94

　　7

　　20.3

　　38.1

　　62.0

　　94.1

　　7

　　11

　　19

　　26

　　31

　　7

　　13.3

　　17.8

　　23.9

　　32.1

　　0

　　-2.3

　　1.2

　　2.1

　　-1.1

　　0

　　20.1

　　6.3

　　8.1

　　3.5

　　7.6

　　100

　　79.9

　　93.7

　　91.9

　　96.5

　　92.4

　　绝对误差序列：               k=1,2,…，n

　　相对误差序列：              k=1,2,3…n

　　2.2.2 关联度检验

　　关联度是用来定量描述各变化过程之间的差别。关联系数越大，说明预测值和实际值越接近。

　　关联度：

　　其中：

　　式中： 被称为分辨率，0《1，一般取=0.5。

　　本例以X（1）作为 参考 项与作关联度 分析 ，求得：

　　n（1）=1；n（2）=0.3333；n（3）=0.5111；n（4）=0.5349；n（5）=0.92

　　关联度

　　根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6是可以接受的，因此模型预测是可信的。

　　2.2.3 后验差检验

　　后验差检验是模型精度的等级标准作出合理的评价，按照精度检验C和P（小误差概率）两个指标进行评定，其等级标准如表三。表中的C为方差比，即C=S2/S1，其中S1为原始数据的方差，S2为残差的方差。P为小误差概率，其中。

　　表3                检验指标等级标准表

　　P

　　C

　　好

　　﹥0.95

　　﹤0.35

　　合格

　　﹥0.85

　　﹤0.50

　　勉强合格

　　﹥0.70

　　﹤0.65

　　不合格

　　≦0.70

　　≧0.65

　　本例中的方差比计算如下：

　　原始数据均值和方差：

　　残差均值和方差：

　　后检验差比值C=S2/S1=0.1699

　　小误差概率：

　　通过以上计算C=0.1699﹤0.35；所有的△（k）均小于6.4815，所以P=1﹥0.95；由此可见模型精度为最高一级的“好”

　　2.2.3 关联度检验

　　关联度是用来定量描述各变化过程之间的差别。关联系数越大，说明预测值和实际值越接近。

　　关联度：

　　其中：

　　式中： 被称为分辨率，0《1，一般取=0.5。

　　以X（1）作为参考项与作关联度分析，求得：

　　n（1）=1；n（2）=0.3333；n（3）=0.5111；n（4）=0.5349；n（5）=0.92

　　关联度 =3.2993/5=0.65986

　　根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6是可以接受的，因此模型预测是可信的。

　　3 模型在预测中的 应用

　　用不同的k值代入预测模型=38.80602337e0.294192892k-31.80602337进行预测。

　　K=5时， =137.13335；=137.13335-94=43.13335；43.1335-31（1991年的序号）=12.13335，即1991年+12.13335=2003年（预测到2003年将发生干旱）；实际上珊溪站在2003年实测的降雨量为1410mm，与模型预测相吻合。

　　K=6时， =194.9178；=194.9178-137.13335=57.78445；57.78448-43（2003年的序号）=14.78445，即：2003年+14.78445=2017.78年（预测到2017年~2018年将发生干旱）。

　　4 结语

　　灰色模型作为一种预测 理论 ，已经在各行各业得到充分的应用。探索其在水文预测中的应用具有现实的意义。由于GM（1，1）模型要求数据较少，原理简单，计算量适中，结果精度较高等诸多优点。但是，在这里需要指出的是GM（1，1）适合于短期的预测，不能用于较长时间的预测，否则会产生较大的误差，为了对较长时间的趋势值进行预测，需要引入新的数据，这样可以确保预测的可靠性；另外原始序列本身 规律 的好坏，也将 影响 预测模型的预测能力。

　　参考 文献

　　1 邓聚龙。灰色系统理论教程。武汉：华中理工大学出版社，1992

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